Основные понятия теории сигналов. Сигнал. Классификация сигналов: аналоговые, дискретные и цифровые. Детерминированные и случайные сигналы. Стационарные и нестационарные сигналы. Энергетические, спектральные и корреляционные характеристики сигналов. Дуальность времени и частоты. Метрические пространства сигналов. Непрерывные и дискретные отображения сигналов. Задачи теории сигналов.
Пространство сигналов. Размерность пространства сигналов. Полные ортонормированные системы. Неравенство Бесселя. Ошибка представления. Равенства Парсеваля. Примеры полных ортонормированных систем. Интегральные представления. Интегральные преобразования Фурье. Формулы обращения Римана-Меллина. Преобразование Лапласа. Преобразование Гильберта. Аналитический сигнал. Дисперсионные соотношения. Преобразование Меллина.
Дискретные системы. Линейные системы. Стационарные системы. Системы без памяти. Устойчивость. Детерминированность. Линейные стационарные системы. Функция отклика (импульсная характеристика). Представление сигналов и систем в частотной области. Собственные функции линейных стационарных систем. Системы с конечной и бесконечной импульсный характеристикой (КИХ и БИХ системы).
Z-преобразование. Преобразование Лапласа и Z-преобразование. Ряд Лорана. Область определения и область сходимости Z-преобразования. Z-образ для функций, не имеющих Фурье-образа. Нули и полюсы Z-образа. Допустимые расположения нулей и полюсов внутри области сходимости для устойчивых и причинных систем. Свойства Z-преобразования: линейность, сдвиг по отсчётам (времени), производная, обращение времени, преобразование свёртки. Обратное Z-преобразование.
Дискретизация сигнала. Равномерная дискретизация. Необратимость дискретизации. Частотное представление дискретизации, функция отсчётов. Теорема Котельникова-Найквиста. Комплексная частотная характеристика линейной стационарной системы. Импульсная инвариантность. Изменение частоты дискретизации методами дискретной обработки. Многоскоростная обработка сигналов. Прореживающие и интерполяционные фильтры.
Квантование сигнала. Равномерное и неравномерное квантование. Анализ погрешности квантования. Процесс квантования и шум квантования. Методы неравномерного квантования. Применение неравномерного квантования для компрессии сигналов. Спектр мощности и автокорреляционная функция шума квантования. Векторное квантование, разностное квантование. Квантование с расщеплением спектра.
Анализ преобразования сигналов линейными стационарными системами. Фазовые фильтры первого и второго порядка. Фазочастотная характеристика и групповая задержка фазовых фильтров. Минимально-фазовые системы. Причинность и устойчивость прямой и обратной минимально-фазовых систем. Представление системной функции как произведения минимально-фазовой и всепропускающей системных функций. Невозможность создания причинной системы с нулевой ФЧХ. Системы с обобщённой линейной фазой или постоянной групповой задержкой. Связи линейно-фазовых КИХ систем с минимально-фазовыми.
Реализация дискретных линейных стационарных систем. Блок-схемы разностных уравнений и сигнальные потоковые графы. Основные эквивалентные структуры, реализующие системы. Элементная база - сумматоры, умножители, регистры памяти. Прямые, каскадные, параллельные формы реализации БИХ систем. Каноническая форма. Прямая и каскадная формы КИХ систем.
Проблемы цифрового представления. Квантование коэффициентов при реализации систем. Устойчивость каскадных и параллельных форм, чувствительность прямых форм реализации БИХ систем. Допустимые положения полюсов для различной разрядности квантования. Предельные циклы в отсутствии входного сигнала для БИХ систем. Предельные циклы округления и усечения. Дрейф нулей при квантовании коэффициентов системной функции КИХ систем. Сохранение линейной фазовой характеристики после квантования.
Анализ спектра сигналов на основе ДПФ. Принципы оценки спектра в частотной области. ДПФ- анализ синусоидальных сигналов. Окно обработки и спектральная дискретизация. Артефакты спектральной дискретизации. Фурье-анализ нестационарных сигналов. Фурье-анализ случайных сигналов. Периодограмма. Периодограммы Барлета, Уэлша, метод Блэкмена-Тьюки. Спектральный анализ случайных сигналов с помощью оценки автокорреляционной функции. Разрешающая способность непараметрических методов анализа спектра.
Параметрические методы оценки спектра сигналов. Недостатки непараметрических методов: низкое спектральное разрешение при коротких сегментах данных, "просачивание" спектральных составляющих, гребешковые искажения, смещения весовой функции. Авторегрессионная оценка спектра. Авторегрессионная модель и авторегрессионный фильтр. Критерии выбора порядка авторегрессионной модели. Спектральная плотность мощности авторегрессионного ряда. Построение авторегрессионного фильтра. Уравнения Юла-Уокера для расчёта параметров модели. Метод скользящего среднего.
