Ф И З И Ч Е С К И Й   Ф А К У Л Ь Т Е Т   М Г У   и м е н и   М . В . Л О М О Н О С О В А

Кафедра фотоники и физики микроволн

Заглавная страница
Новости
История кафедры
Лаборатории
Сотрудники
Спецкурсы
Спецпрактикум
Студентам
младших курсов
Аспирантам
Практикум по радиоэлектронике
Школа-семинар по волновым явлениям
Фотоальбом
Полезные ссылки
English


Численные методы в радиофизике

(8 семестр, 32 часа)

Понятие численного эксперимента, важность использования адекватных численных методов для расчета математических задач - моделей физических процессов. Примеры, иллюстрирующие возможности численного эксперимента при исследовании ряда задач радиофизики. Простейшие разностные аппроксимации 1-ой и 2-ой производной. Разностная схема для 1-ой краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка. Понятия аппроксимации и сходимости.

Разностная аппроксимация уравнения Гельмгольца. Канонический вид разностного уравнения 2-го порядка. Метод прогонки. Устойчивость прогонки. Разностная задача на собственные значения для оператора 2-ой разностной производной. Свойства разностных собственных функций и собственных чисел.

Запись разностной аппроксимации уравнения Гельмгольца в виде системы линейных алгебраических уравнений. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Метод Гаусса с выбором главного элемента. Матрицы перестановок. Применимость метода Гаусса. Метод квадратного корня для симметричных матриц (разложение Холецкого). Число действий. Вычисление определителя и обращение матрицы. Влияние погрешности округления на точность.

Итерационные методы Якоби и Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений. Каноническая форма одношаговых итерационных методов. Критерий сходимости стационарного одношагового итерационного метода (без док-ва), его применение к методам Якоби и Зейделя. Скорость сходимости стационарных итерационных методов для симметричных положительно определенных матриц. Пример метода простой итерации. Ускорение сходимости с помощью чебышевского набора параметров.

Итерационные методы вариационного типа. Связь с задачами оптимизации. Методы минимальных невязок, скорейшего спуска, сопряженных градиентов. Проблема собственных значений и собственных векторов. Решение проблемы для симметричной матрицы с помощью метода вращений. Понятие о QR алгоритме.

Постановка задачи интерполирования. Ее решение, получение полиномов Лагранжа и Ньютона. Оценка остаточного члена многочленов Лагранжа Ньютона. Минимизация погрешности с помощью многочленов Чебышева. Интерполяция с кратными узлами. Рациональная интерполяция. Интерполяция сплайнами (на примере).

N-точечные формулы численного интегрирования. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Оценки остаточных членов. Автоматический выбор шага интегрирования. Правило Рунге. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Формулы Филона.

Численное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Схема Эйлера. Симметричная схема. Метод предиктор-корректор. Сравнение сходимости этих методов.

Методы Рунге-Кутта различных порядков. Обсуждение погрешности аппроксимации и сходимости этих методов и их преимуществ на примерах. Методы Адамса. Демонстрация их экономичности. Недостатки.

Явная, неявная и симметричная разностные схемы для модельного уравнения теплопроводности. Понятия устойчивости, аппроксимации и сходимости разностной схемы. Общая схема с весами для уравнения теплопроводности. Условие ее устойчивости. Аппроксимация краевых условий 2-го и 3-го рода. Случай переменных коэффициентов.

Одномерное волновое уравнения и его разностное приближение. Простейшая схема "крест", ее аппроксимация и устойчивость. Характеристики, перенос энергии вдоль характеристик. Характеристическая сетка и ее применение при численном решении волнового уравнения.

Одномерное нестационарное уравнение Шредингера. Общая схема с весами для этого уравнения. Вывод погрешности аппроксимации. Исследование устойчивости на примерах явной, чисто неявной и симметричной консервативной разностных схем. Невозможность применения явной схемы для уравнения Шредингера ввиду ее абсолютной неустойчивости.

Методы решения нелинейных уравнений: методы деления пополам, простой итерации, метод Ньютона. Сравнение этих методов, примеры. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений. Сложность нахождения начального приближения, примеры. Принцип сжимающих отображений.

Общее представление о методе Монте-Карло. Случайные числа, генератор случайных чисел. Применение метода Монте-Карло в задачах адаптивного управления оптическим излучением.

ЛИТЕРАТУРА

  1. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы, М. "Наука", 1989.
  2. Бахвалов Н.С, Жидков Н.П., Кобельков Г.Н. Численные методы, М. - С.-П. "Физматлит", 2001.
  3. Калиткин Н.Н.. Численные методы, М. "Наука", 1978.
  4. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику, Изд-во МФТИ, 1994, 2008.
  5. Приклонский В.И. Численные методы. МГУ, физический ф-т, 1999.

Программа составлена доц. И.Г. Захаровой
Утверждена на заседании кафедры 26.06.2009